Pengertian Materi
Materi ialah segala sesuatu yang menempati ruang dan mempunyai massa. Semua benda yang kita temui tersusun oleh materi. Suatu materi apapun bentuknya ada 3 wujud, yaitu padat, cair, gas
Sifat Materi
Sifat fisika dari sebuah materi adalah sifat-sifat yang terkait dengan perubahan fisika, yaitu sebuah sifat yang dapat diamati karena adanya perubahan fisika atau perubahan yang tidak kekal.Sifat Kimia dari sebuah materi merupakan sifat-sifat yang dapat diamati muncul pada saat terjadi perubahan kimia.
Perubahan Materi
Perubahan materi adalah perubahan sifat suatu zat atau materi menjadi zat yang lain baik yang menjadi zat baru maupun tidak. Perubahan materi terjadi dipengaruhi oleh energi baik berupa kalor maupun listrik.
Klasifikasi Materi
Para ilmuwan mengklasifikasikan materi menjadi dua kelompok yaitu :
1. zat tunggal (unsur dan senyawa)
2. campuran
Pengenalan Unsur dan Sistem Periodik Unsur
Unsur dikelompokkan menjadi 3 bagian yaitu :
1. Unsur logam
2. Unsur non Logam
3. Unsur Semi Logam
Senyawa
Senyawa adalah gabungan dari beberapa unsur yang terbentuk melalui rekasi kimia.
ENERGI : Pengertian, Macam dan contohnya Sasaran Belajar
Kita ketahui bersama bahwa segala sesuatu yang kita lakukan memerlukan energi : misalnya bermain, belajar, dan bekerja kita memerlukan energi.
1. Pengertian Energi
Energi adalah kemampuan untukmelakukan usaha. Dua contoh yang akan menunjukan definisi ini. Anda akan merasa lelah ketika anda berlari karena anda mengeluarkan energi.
Macam-macam bentuk energi.
Berikut ini kita akan memberikan berbagai bentuk energi yang banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Seperti energi panas, energi bunyi, energi kimia, energi gerak dan lain-lain.
1. Energi panas : Energi kalor dari matahari dapat menguapkan air sehingga pakaian yang basah bila dijemur bias menjadi kering.
2. Energi bunyi :Energi bunyi dapat menggerakan benda-benda disekitar sumber bunyi. Contoh : bila terjadi ledakan bom, maka kaca-kaca disekitar tempat ledakan banyak yang pecah.
3. Energi kimia :Energi kimia tersimpan dalam bahan baker dan makanan. Nasi mengandung zat-zat kimia yang bermanfaat karena dapat menghasilkan energi bagi tubuh.
4. Energi gerak
Energi gerak dapat ditemukan pada benda yang bergerak. Bentuk energi ditentukan dari akibat yang ditimbulkan oleh yang sudah berubah menjadi gaya.
Sunday, July 20, 2014
Iptek serta perkembangannya
Kemajuan ilmu dan teknologi yang semula bertujuan untuk mempermudah pekerjaan manusia, tetapi kenyataannya teknologi telah menimbulkan keresahan dan ketakutan baru bagi kehidupan manusia. Bahkan saat sekarang ini hampir setiap orang itu tidak bisa terpisah dari adanya teknologi, setiap orang memanfaatkan alat komunikasi langsung jarak jauh seperti HP untuk berhubungan dengan orang lain yang berjauhan..
Dengan demikian dapat dipahami bahwa adanya perkembangan IPTEK, manusia sangat banyak terbantu untuk memenuhi berbagai kebutuhan dan menyelesaikan berbagai permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan sehari-hari, tetapi disisi lain manusia juga harus sadar akan adanya berbagai macam ancaman yang dapat ditimbulkan oleh adanya perkembangan IPTEK tersebut, yang akan dapat membahayakan bagi manusia itu sendiri.Mengingat saat sekarang ini sering kita lihat dimana-mana banyak para pelajar dan mahasiswa yang sering menggunakan pasilitas teknologi tidak sesuai dengan yang diharapkan, sehingga hal ini dapat mendatangkan dampak yang negatif.
PEMENUHAN KEBUTUHAN PRIMER DAN SEKUNDER
A. BAGAIMANA PERAN ILMU PENGETAHUAN DENGAN KEBUTUHAN PRIMER DAN SEKUNDER
Untuk mempertahankan kehidupan manusia memerlukan kebutuhan. Kebutuhan manusia tidak terbatas jumlahnya, beraneka macam, tidak berhenti sampai pemenuhan tertentu, terus berubah dan berkembang baik secara kuantitas dan kualitas, kebutuhan sering timbul dalam waktu yang bersamaan, dan tidak ada batas waktu berhentinya .
B. PERBEDAAN KEBUTUHAN PRIMER DAN SEKUNDER
1.Kebutuhan Primer (kebutuhan pokok) Kebutuhan primer adalah kebutuhan yang haus dipenuhi untuk mempertahankan kelangsungan hidup manusai, seperti : dapat hidup sehat, berpakaian, dan berteduh serta memperoleh pendidikan..
2. Kebutuhan Sekunder (Pelengkap) Kebutuhan sekunder adalah kebutuhan yang pemenuhannyasetelah kebutuhan primer terpenuhi. Contoh kebutuhan skunder adalahkebutuhan akan radio, TV, atau sepeda
PERANAN IPTEK TERHADAP SOSIAL DAN BUDAYA
1. Bidang Sosial
Dalam hal ini bidang sosial manusia dipengaruhi oleh perkembangan teknologi yang ada dimasa kini. Manusia memanfaatkan teknologi yang ada untuk berbagai macam keperluaan seperti untuk berkomunikasi, menambah wawasan dan menghasilkan uang untuk menghidupi dirinya. Akan tetapi setiap hal yang bernilai positif pasti ada dampak – dampak yang ditimbulkan darinya , seperti halnya kemajuan IPTEK dalam bidang sosial. Ada dampak baik dan dampak buruk, dibawah ini adalah dampak berkembangan IPTEK dalam bidang sosial :
1. Dampak Positif
1. Mudahnya berkomunikasi dengan orang – orang yang jarak jauh
2. Waktu dan biaya lebih efisien
3. Mempermudah mencari Informasi yang ingin diketahui serta menambah wawasan dan pengetahuan
2. Dampak Negatif
1. Maraknya perilaku menyimpang yang terjadi di kalangan masyarakat pada dan umumnya dan khususnya remaja
2. Timbulnya kejahatan publik
3. Manusia menjadi malas
2. Bidang Budaya
Budaya adalah suatu cara hidup yang berkembang dan dimiliki bersama oleh sebuah kelompok orang dan diwariskan dari generasi ke generasi. Budaya terbentuk dari banyak unsur yang rumit, termasuk sistem agama dan politik, adat istiadat, bahasa, perkakas, pakaian, bangunan, dan karya seni. Peran IPTEK dalam budaya juga berpengaruh cukup besar dalam hal ini tetapi terkadang seseorang menyalah gunakan IPTEK dalam bidang budaya menjadi tidak baik. Berikut ini adalah dampak perkembangan IPTEK dalam Bidang Budaya :
1. Dampak Positif
1. Kita dapat mengetahui budaya – budaya yang ada di Negara – Negara lain
2. Teknologi yang ada dapat dikolaborasikan dengan budaya – budaya yang ada
3. Dapat menshare budaya yang ada di Negara masing – masing
2. Dampak Negatif
1. Budaya yang ada bisa diklaim oleh Negara lain
2. Dapat merubah budaya yang telah ada karena perkembangan IPTEK yang cukup pesat
3. Kehilangan jati diri budaya yang ada di Negara tersebut
B. BAGAIMANA PERANAN IPTEK TERHADAP LINGKUNGAN EKONOMI,SOSIAL,DAN BUDAYA
Telah kita ketahui bahwa IPTEK telah berkembang pesat dalam lapisan masyarakat. Hal tersebut mendukung berbagai peranan serta dampak IPTEK dalam berbagai bidang, seperti Bidang Ekonomi, Sosial, dan Budaya.
a) Bidang Ekonomi
Ekonomi adalah kebutuhan manusia, maka sipa yang dapat menguasai perekonomian, dialah yang memegang kekuasaan. Sedangkan ketika industri memegang peranan penting dalam ekonomi maka kaum kapitalislah yang memegang peranan utama dalam penyediaan segala kebutuhan manusia.
b) Bidang Sosial
Kehidupan sosial dipengaruhi oleh kemajuan teknologi. Kebutuhan manusia akan pangan sangat dipengaruhi oleh kemajuan teknologi dalam bidang pertanian. Sedangkan kebutuhan akan komunikasi dipengaruhi oleh teknologinya, seperti media cetak, media elektronik selain untuk berkomunikasi, juga dapat memperluas wawasan.
c) Bidang Budaya
Budaya atau kebudayaan adalah kerangka acuan bagi perilaku masyarakat pendukungnya yang berupa nilai-nilai (kebenaran, keindahan, keadilan, kemanusiaan, dll) yang berpengaruh sebagai kerangka untuk membentuk pandangan hidup manusia yang relatif menetap dan dapat dilihat dari warga budaya itu untuk menentukan sikapnya terhadap berbagai gejala dan peristiwa kehidupan.
Dengan demikian dapat dipahami bahwa adanya perkembangan IPTEK, manusia sangat banyak terbantu untuk memenuhi berbagai kebutuhan dan menyelesaikan berbagai permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan sehari-hari, tetapi disisi lain manusia juga harus sadar akan adanya berbagai macam ancaman yang dapat ditimbulkan oleh adanya perkembangan IPTEK tersebut, yang akan dapat membahayakan bagi manusia itu sendiri.Mengingat saat sekarang ini sering kita lihat dimana-mana banyak para pelajar dan mahasiswa yang sering menggunakan pasilitas teknologi tidak sesuai dengan yang diharapkan, sehingga hal ini dapat mendatangkan dampak yang negatif.
PEMENUHAN KEBUTUHAN PRIMER DAN SEKUNDER
A. BAGAIMANA PERAN ILMU PENGETAHUAN DENGAN KEBUTUHAN PRIMER DAN SEKUNDER
Untuk mempertahankan kehidupan manusia memerlukan kebutuhan. Kebutuhan manusia tidak terbatas jumlahnya, beraneka macam, tidak berhenti sampai pemenuhan tertentu, terus berubah dan berkembang baik secara kuantitas dan kualitas, kebutuhan sering timbul dalam waktu yang bersamaan, dan tidak ada batas waktu berhentinya .
B. PERBEDAAN KEBUTUHAN PRIMER DAN SEKUNDER
1.Kebutuhan Primer (kebutuhan pokok) Kebutuhan primer adalah kebutuhan yang haus dipenuhi untuk mempertahankan kelangsungan hidup manusai, seperti : dapat hidup sehat, berpakaian, dan berteduh serta memperoleh pendidikan..
2. Kebutuhan Sekunder (Pelengkap) Kebutuhan sekunder adalah kebutuhan yang pemenuhannyasetelah kebutuhan primer terpenuhi. Contoh kebutuhan skunder adalahkebutuhan akan radio, TV, atau sepeda
PERANAN IPTEK TERHADAP SOSIAL DAN BUDAYA
1. Bidang Sosial
Dalam hal ini bidang sosial manusia dipengaruhi oleh perkembangan teknologi yang ada dimasa kini. Manusia memanfaatkan teknologi yang ada untuk berbagai macam keperluaan seperti untuk berkomunikasi, menambah wawasan dan menghasilkan uang untuk menghidupi dirinya. Akan tetapi setiap hal yang bernilai positif pasti ada dampak – dampak yang ditimbulkan darinya , seperti halnya kemajuan IPTEK dalam bidang sosial. Ada dampak baik dan dampak buruk, dibawah ini adalah dampak berkembangan IPTEK dalam bidang sosial :
1. Dampak Positif
1. Mudahnya berkomunikasi dengan orang – orang yang jarak jauh
2. Waktu dan biaya lebih efisien
3. Mempermudah mencari Informasi yang ingin diketahui serta menambah wawasan dan pengetahuan
2. Dampak Negatif
1. Maraknya perilaku menyimpang yang terjadi di kalangan masyarakat pada dan umumnya dan khususnya remaja
2. Timbulnya kejahatan publik
3. Manusia menjadi malas
2. Bidang Budaya
Budaya adalah suatu cara hidup yang berkembang dan dimiliki bersama oleh sebuah kelompok orang dan diwariskan dari generasi ke generasi. Budaya terbentuk dari banyak unsur yang rumit, termasuk sistem agama dan politik, adat istiadat, bahasa, perkakas, pakaian, bangunan, dan karya seni. Peran IPTEK dalam budaya juga berpengaruh cukup besar dalam hal ini tetapi terkadang seseorang menyalah gunakan IPTEK dalam bidang budaya menjadi tidak baik. Berikut ini adalah dampak perkembangan IPTEK dalam Bidang Budaya :
1. Dampak Positif
1. Kita dapat mengetahui budaya – budaya yang ada di Negara – Negara lain
2. Teknologi yang ada dapat dikolaborasikan dengan budaya – budaya yang ada
3. Dapat menshare budaya yang ada di Negara masing – masing
2. Dampak Negatif
1. Budaya yang ada bisa diklaim oleh Negara lain
2. Dapat merubah budaya yang telah ada karena perkembangan IPTEK yang cukup pesat
3. Kehilangan jati diri budaya yang ada di Negara tersebut
B. BAGAIMANA PERANAN IPTEK TERHADAP LINGKUNGAN EKONOMI,SOSIAL,DAN BUDAYA
Telah kita ketahui bahwa IPTEK telah berkembang pesat dalam lapisan masyarakat. Hal tersebut mendukung berbagai peranan serta dampak IPTEK dalam berbagai bidang, seperti Bidang Ekonomi, Sosial, dan Budaya.
a) Bidang Ekonomi
Ekonomi adalah kebutuhan manusia, maka sipa yang dapat menguasai perekonomian, dialah yang memegang kekuasaan. Sedangkan ketika industri memegang peranan penting dalam ekonomi maka kaum kapitalislah yang memegang peranan utama dalam penyediaan segala kebutuhan manusia.
b) Bidang Sosial
Kehidupan sosial dipengaruhi oleh kemajuan teknologi. Kebutuhan manusia akan pangan sangat dipengaruhi oleh kemajuan teknologi dalam bidang pertanian. Sedangkan kebutuhan akan komunikasi dipengaruhi oleh teknologinya, seperti media cetak, media elektronik selain untuk berkomunikasi, juga dapat memperluas wawasan.
c) Bidang Budaya
Budaya atau kebudayaan adalah kerangka acuan bagi perilaku masyarakat pendukungnya yang berupa nilai-nilai (kebenaran, keindahan, keadilan, kemanusiaan, dll) yang berpengaruh sebagai kerangka untuk membentuk pandangan hidup manusia yang relatif menetap dan dapat dilihat dari warga budaya itu untuk menentukan sikapnya terhadap berbagai gejala dan peristiwa kehidupan.
Fungsi
Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua
Pengertian Domain, Kodomain, Range
Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.
contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".
Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :
{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.
Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.
Dari fungsi di atas maka :
Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }
Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }
Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “
Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :
a. Diagram Panah
b. Diagram Cartesius
c. Himpunan pasangan berurutan.
Jawab:
c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),
(4, 8),(6, 6)}
Domain, Kodomain dan Range
Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan B disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).
Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:
Jawab:
a. Domain = { 3, 5 }
Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}
Range = { 1, 2, 8}
b. Domain = { 3, 5, 7, 8}
Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}
Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}
Pengertian Domain, Kodomain, Range
Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.
contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".
Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :
{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.
Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.
Dari fungsi di atas maka :
Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }
Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }
Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “
Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :
a. Diagram Panah
b. Diagram Cartesius
c. Himpunan pasangan berurutan.
Jawab:
c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),
(4, 8),(6, 6)}
Domain, Kodomain dan Range
Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan B disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).
Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:
Jawab:
a. Domain = { 3, 5 }
Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}
Range = { 1, 2, 8}
b. Domain = { 3, 5, 7, 8}
Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}
Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}
proposisi
KONSEP DAN NOTASI DASAR
Di dalam penggunaan nya bahasa matematika khususnya pada logika sistematis, yang dimaksud proposisi adalah kalimat atau pernyataan yang selalu mempunyai nilai kebenaran, mungkin pernyataan itu bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak keduanya.
Notasi pernyataan ditulis dengan huruf kecil p ,q, r, s, t, ¼, dan seterusnya, sedangkan nilai kebenarannya diberi simbol 1 untuk pernyataan yang bernilai benar dan 0 untuk pernyataan yang bernilai salah.
Tautologi, Kontradiksi dan Ekivalen Logika
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A Tono pergi kuliah
B Tini pergi kuliah
C Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A → B (Premis)
(2) C → B (premis)
(3) (A V C) → B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B
Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
Contoh dari Kontradiksi:
1. (A ʌ ~A)
Pembahasan:
A
~A
(A ʌ ~A)
B
S
S
B
S
S
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
Aljabar Proposisi
Jika p, q, dan r merupakan proposisi-proposisi maka berlaku:
1. Hukum idempoten . a. pÚ pºp ; b. pÙpºp
2. Hukum asosiatif . a. (p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r) b. p Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)
3. Hukum komutatif. a. p Ú q º q Ú p ; b. p Ù q º q Ù p
4. Hukum distributif a. p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r)
b. p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r)
5. Hukum Identitas . a. p Ú Salah º p ; b. p Ù Benar º p
6. Hukum Identitas. a. p Ú Benar º Benar ; b. p Ù Salah º Salah
7. Hukum Komplemen. a. p Ú p º Benar ; b. p Ù p º Salah
8. Hukum Komplemen . a. p º p ; b. Salah º Benar ; Benar = Salah
9. Hukum De Morgan. a. p Ú q º p Ù ; b. p Ù q º p Ú q
IMPLIKASI
“Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton. Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan p CodeCogsEqn (7) q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah
Pengertian, Penulisan, dan Macam Himpunan
matematika teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
NOTASI HIMPUNAN
biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z).
RELASI ANTAR HIMPUNAN
HIMPUNAN BAGIAN
Dari suatu himpunan, misalnya A = {Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.
· {Kucing,Anjing}
· {Anjing, Monyet}
· {Kucing, Kelinci, Monyet}
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dariA. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.
Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka
juga subhimpunan dari A.
Untuk sembarang himpunan A,
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.
Untuk sembarang himpunan A,
Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.
Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.
SUPER HIMPUNAN
Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
KESAMAAN DUA HIMPUNAN
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.
Atau Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa Badalah subhimpunan A.
HIMPUNAN KUASA
Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A.
Jika A = {Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet }
{ { },
{Kucing}, {Anjing}, { Kelinci }, { Monyet },
{Kucing, Anjing}, {Kucing, Kelinci }, {Kucing, Monyet },
{Anjing, Kelinci }, {Anjing, Monyet }, { Kelinci, Monyet },
{Kucing, Anjing, Kelinci }, {Kucing, Anjing, Monyet }, {Kucing, Kelinci, Monyet }, {Anjing, Kelinci, Monyet },
{Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet } }
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.
B. DIAGRAM VENN
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika
C. OPERASI ANTARA HIMPUNAN
1. Pengertian Himpunan
Secara sederhana, himpunan artinya kumpulanbenda (objek). Sedangkan dalam dunia matematika himpunan didefiniskan sebagai suatu kumpulan benda (objek) tertentu dengan batasan yang jelas.
misalnya:
1) A adalah nama bulan yang dimulai dengan huruf J, A = {Januari, Juni, Juli}.
2) B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 7, maka B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Menyajikan himpunan dalam bentuk pendaftaran (tabulasi) dan perincian
Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar A, B, C, X, A1, A2, dsb. Anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil a, b, c, x, x1, y, y1,
Himpunan dapat disajikan dengan cara:
1. Mendaftar anggota-anggotanya di dalam tanda kurung kurawal.
Contoh:
a. N adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari lima disajikan dengan
N = {1, 2, 3, 4}.
b. P adalah himpunan konsonan yang membentuk kata “Jaringan” disajikan dengan
P = {j, r, g, n}.
2. Menyajikan sifat-sifat anggotanya
Contoh:
a. A = {bilangan asli}
b. C = {bilangan cacah}
c. D = {bilangan bulat negatif}
d. E = {bilangan cacah yang kurang dari lima}
3. Menggunakan notasi pembentuk himpunan. Dengan cara ini himpunan disajikan dalam bentuk
{x | x bersifat R}, dibaca himpunan x di mana x bersifat R.
Contoh:
a. Himpunan A di atas disajikan dengan
A = {x | x adalah bilangan asli}.
b. Himpunan E di atas disajikan dengan
E = {x | x adalah bilangan cacah dan x < 5}.
Banyak anggota dari himpunan A dinotasikan dengan n(A).
Contoh: n({1, 2, 3, 4}) = 4,
n{} = 0,
n({bilangan asli}) = tak terhingga
3. . Menyebutkan macam-macam himpunan berdasarkan jumlah anggotanya atau hubungan
1. Himpunan Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Dinyatakan dengan simbol : A ⊂ B
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4}
2. Himpunan Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.
Contoh :
A = {x Î R |x2 + 4 = 0 }
3. Himpunan Semesta
Contoh :
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = himpunan bilangan cacah
4. Menggambarkan hubungan antara himpunan dengan Diagram Venn
Kalian telah mempelajari cara membaca diagram Venn. Sekarang, kita akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan ke dalam diagram Venn. Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2, 3, 5, 7}. Himpunan P
Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar di bawah ini.
5. Menjelaskan kembali operasi-operasi antar himpunan berikut contohnya
Dalam teori himpunan ada aturan atau hukum yang menghubungkan himpunan yang satu dengan yang lain. Ada tiga operasi himpunan, yaitu : operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi selisih.
1. OPERASI GABUNGAN (UNION)
Operasi Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya, didefinisikan sebagai berikut :
A È B = { x | x Î A V x Î B }
.
Contoh :
a. Jika A = { 2,4,6,8,10 } dan
B = { 1,3,5,7,9 } ,maka
A È B = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }
2. OPERASI IRISAN (INTERSECTION)
Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A ÇB, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B, dapat didefinisikan sebagai berikut :
A ∩ B = {x| x ϵ A ʌ x ϵ B } (Tanda ʌ artinya dan)
3. OPERASI SELISIH
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B. Jadi A – B berbeda dengan B – A. Perhatikan Gb. 1.4, daerah yang diarsir merupakan selisih A dan B. Dapat didefinisikan sebagai berikut :
A – B = { x | x Î A ʌ x Ï B }
D. HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMANYA
1. Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N = {1,2,3,4,5,6,......}
2. Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P = {2,3,5,7,11,13,....}
3. Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
4. Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
E. BILANGAN BULAT DAN RIIL
1. Mengenal himpunan Bilangan, menyebutkan sifat-sifat bilangan dan anggotanya
HIMPUNAN
Suatu himpunan didefinisikan sebagai koleksi objek-objek berbeda yang terdefinisi dengan baik. Anggota suatu himpunan disebut elemen atau titik. Kata berbeda dimaksud bahwa elemen yang sama hanya ditulis satu kali, sedang yang dimaksud dengan terdefinisi dengan baik artinya kita dapat membedakan mana yang objek yang menjadi anggota himpunan dan mana objek yang bukan anggota. Dengan demikian jika diambil satu objek, kita dapat mengatakan objek itu anggota himpunan atau tidak.
2. Membedakan Bilangan Bulat dan Riil
Bilangan bulat
Contoh:
2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.
2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif
2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif
sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.
NOTASI HIMPUNAN
biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z).
RELASI ANTAR HIMPUNAN
HIMPUNAN BAGIAN
Dari suatu himpunan, misalnya A = {Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.
· {Kucing,Anjing}
· {Anjing, Monyet}
· {Kucing, Kelinci, Monyet}
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dariA. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.
Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka
juga subhimpunan dari A.Untuk sembarang himpunan A,
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.
Untuk sembarang himpunan A,
Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.
Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.
SUPER HIMPUNAN
Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
KESAMAAN DUA HIMPUNAN
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.
Atau Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa Badalah subhimpunan A.
HIMPUNAN KUASA
Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A.
Jika A = {Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet }
{ { },
{Kucing}, {Anjing}, { Kelinci }, { Monyet },
{Kucing, Anjing}, {Kucing, Kelinci }, {Kucing, Monyet },
{Anjing, Kelinci }, {Anjing, Monyet }, { Kelinci, Monyet },
{Kucing, Anjing, Kelinci }, {Kucing, Anjing, Monyet }, {Kucing, Kelinci, Monyet }, {Anjing, Kelinci, Monyet },
{Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet } }
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.
B. DIAGRAM VENN
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika
C. OPERASI ANTARA HIMPUNAN
1. Pengertian Himpunan
Secara sederhana, himpunan artinya kumpulanbenda (objek). Sedangkan dalam dunia matematika himpunan didefiniskan sebagai suatu kumpulan benda (objek) tertentu dengan batasan yang jelas.
misalnya:
1) A adalah nama bulan yang dimulai dengan huruf J, A = {Januari, Juni, Juli}.
2) B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 7, maka B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Menyajikan himpunan dalam bentuk pendaftaran (tabulasi) dan perincian
Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar A, B, C, X, A1, A2, dsb. Anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil a, b, c, x, x1, y, y1,
Himpunan dapat disajikan dengan cara:
1. Mendaftar anggota-anggotanya di dalam tanda kurung kurawal.
Contoh:
a. N adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari lima disajikan dengan
N = {1, 2, 3, 4}.
b. P adalah himpunan konsonan yang membentuk kata “Jaringan” disajikan dengan
P = {j, r, g, n}.
2. Menyajikan sifat-sifat anggotanya
Contoh:
a. A = {bilangan asli}
b. C = {bilangan cacah}
c. D = {bilangan bulat negatif}
d. E = {bilangan cacah yang kurang dari lima}
3. Menggunakan notasi pembentuk himpunan. Dengan cara ini himpunan disajikan dalam bentuk
{x | x bersifat R}, dibaca himpunan x di mana x bersifat R.
Contoh:
a. Himpunan A di atas disajikan dengan
A = {x | x adalah bilangan asli}.
b. Himpunan E di atas disajikan dengan
E = {x | x adalah bilangan cacah dan x < 5}.
Banyak anggota dari himpunan A dinotasikan dengan n(A).
Contoh: n({1, 2, 3, 4}) = 4,
n{} = 0,
n({bilangan asli}) = tak terhingga
3. . Menyebutkan macam-macam himpunan berdasarkan jumlah anggotanya atau hubungan
1. Himpunan Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Dinyatakan dengan simbol : A ⊂ B
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4}
2. Himpunan Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.
Contoh :
A = {x Î R |x2 + 4 = 0 }
3. Himpunan Semesta
Contoh :
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = himpunan bilangan cacah
4. Menggambarkan hubungan antara himpunan dengan Diagram Venn
Kalian telah mempelajari cara membaca diagram Venn. Sekarang, kita akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan ke dalam diagram Venn. Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2, 3, 5, 7}. Himpunan P
Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar di bawah ini.5. Menjelaskan kembali operasi-operasi antar himpunan berikut contohnya
Dalam teori himpunan ada aturan atau hukum yang menghubungkan himpunan yang satu dengan yang lain. Ada tiga operasi himpunan, yaitu : operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi selisih.
1. OPERASI GABUNGAN (UNION)
Operasi Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya, didefinisikan sebagai berikut :
A È B = { x | x Î A V x Î B }
.
Contoh :
a. Jika A = { 2,4,6,8,10 } dan
B = { 1,3,5,7,9 } ,maka
A È B = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }
2. OPERASI IRISAN (INTERSECTION)
Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A ÇB, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B, dapat didefinisikan sebagai berikut :
A ∩ B = {x| x ϵ A ʌ x ϵ B } (Tanda ʌ artinya dan)
3. OPERASI SELISIH
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B. Jadi A – B berbeda dengan B – A. Perhatikan Gb. 1.4, daerah yang diarsir merupakan selisih A dan B. Dapat didefinisikan sebagai berikut :
A – B = { x | x Î A ʌ x Ï B }
D. HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMANYA
1. Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N = {1,2,3,4,5,6,......}
2. Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P = {2,3,5,7,11,13,....}
3. Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
4. Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
E. BILANGAN BULAT DAN RIIL
1. Mengenal himpunan Bilangan, menyebutkan sifat-sifat bilangan dan anggotanya
HIMPUNAN
Suatu himpunan didefinisikan sebagai koleksi objek-objek berbeda yang terdefinisi dengan baik. Anggota suatu himpunan disebut elemen atau titik. Kata berbeda dimaksud bahwa elemen yang sama hanya ditulis satu kali, sedang yang dimaksud dengan terdefinisi dengan baik artinya kita dapat membedakan mana yang objek yang menjadi anggota himpunan dan mana objek yang bukan anggota. Dengan demikian jika diambil satu objek, kita dapat mengatakan objek itu anggota himpunan atau tidak.
2. Membedakan Bilangan Bulat dan Riil
Bilangan bulat
Contoh:
2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.
2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif
2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif
sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.
PRODUK KARTESIUS DAN RELASI
Himpunan semua pasangan berurutan (a,b) dengan a A dan b B disebut himpunan perkalian A dan B atau produk kartesius A dan B ditulis dengan notasi A x B dan didefinisikan sbb ; A x B = {(a,b) : a A, b B}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka A x B = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)} dan B x A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
RELASI MATRIKS
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, . . .,am} dan B = {b1, b2, . . .,bn}, relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]
Yang dalam hal ini :
Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika ai dihubungkan dengan bj dan bernilai 0 jika ai tidak dihubungkan dengan bj.
Relasi R pada table 1 dapat dinyatakan dengan matriks :
yang dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = INF0221
Picture
Diagram Panah
Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.
RELASI INVERS
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ; R-1 = {(b,a) : (a,b) R}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh Relasi Invers
Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}, maka R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)} merupakan suatu relasi dari A ke B. Tentukan relasi invers dari R ! Relasi invers dari R adalah ; R-1 = {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2)}
KOMPOSISI RELASI
Komposisi relasi seperti halnya komposisi fungsi jadi seperti kombinasi hanya beda macam operasinya.
Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S dinotasikan dengan R0S adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
R0S = {(a,c)|aЄA, c Є C, dan untuk beberapa bЄB, (a,b)ЄR dan (b,c)ЄS}
Contoh
Misalkan R = {( 1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari A={1,2,3} dan B={2,4,6,8} ,dan
S={( 2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari B ke C={s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S yaitu R0S
Jawab
R0S = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}
Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dalam matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari relasi tersebut adalah
MR1oR2= MR1 . MR2
operator “ 0 “ sama seperti pada perkalian matrik, tetapi mengganti tanda kali dg L, sedangkan jumlah dengan V
Dalam hal ini ingat operasi pada aljabar bool yaitu tanda atau(V) seperti jumlah sedang kan tanda dan(L) seperti kali
1. Refleksif
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif, jika (a,a)ЄR untuk setiap aЄA.
Contoh
Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana A={1,2,3,4}
a) Diketahui , R={(1,1), (1,3),(2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4)}
b) Diketahui , R={(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R refleksif ?
Jawab
a) bersifat refleksif karena (a,a) ada dalam R yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)
b) tidak refleksif karena ada (a,a) tidak ada dalam R yaitu (3,3).
Dilihat dari cara penulisan relasi, relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks denganbentuk semua bernilai 1 pada diagonal utamanya , sedangkan graf berarah adanya gelang pada setiap simpulnya.
2. Simetris (setangkup)
Sebaliknya dikatakan tidak simetris.
Contoh
Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana A={1,2,3,4}
a) Diketahui , R={(1,1), (1,2),(2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}
b) Diketahui , R={(1,1), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R simetris ?
Jawab
a) simetris karena jika (a,b)ЄR, ada juga (b,a)ЄR yaitu (1,2) , (2,1) ЄR, begitu juga (2,4) , (4,2)ЄR
b) tidak simetris karena (2,3)ЄR tetapi (3,2) tidak dalam R
Dilihat cara penulisan relasi, relasi bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen dibawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen diatas diagonal utama, atau mij = mji umtuk i= 1,2,.......n. sedangkan graf berarahnya mempunyai ciri : jika ada busur a ke b, maka ada juga busur dari b ke a
3. Transitif (penghantar)
Relasi R pada himpunan A disebut transitif (penghantaf), untuk a, b, c Є A, jika (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka harus ada (a,c)ЄR.
Contoh
Misal A={1,2,3,4}, dan relasi R pada A
a) diketahui R= {(2,1), (3,1),(3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}
b) Diketahui , R={(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)}.
Tentukan apakah R refleksif ?
Jawab
a) transitif karena memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka terlihat ada (a,c)ЄR.
b) tidak bersifat transitif karena tidak memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,tidak terlihat ada (a,c)ЄR. Dalam hal ini ada (2,4), dan(4,2) tetapi (2,2)ÏR
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka A x B = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)} dan B x A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
RELASI MATRIKS
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, . . .,am} dan B = {b1, b2, . . .,bn}, relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]
Yang dalam hal ini :
Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika ai dihubungkan dengan bj dan bernilai 0 jika ai tidak dihubungkan dengan bj.
Relasi R pada table 1 dapat dinyatakan dengan matriks :
yang dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = INF0221
Picture
Diagram Panah
Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.
RELASI INVERS
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ; R-1 = {(b,a) : (a,b) R}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh Relasi Invers
Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}, maka R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)} merupakan suatu relasi dari A ke B. Tentukan relasi invers dari R ! Relasi invers dari R adalah ; R-1 = {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2)}
KOMPOSISI RELASI
Komposisi relasi seperti halnya komposisi fungsi jadi seperti kombinasi hanya beda macam operasinya.
Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S dinotasikan dengan R0S adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
R0S = {(a,c)|aЄA, c Є C, dan untuk beberapa bЄB, (a,b)ЄR dan (b,c)ЄS}
Contoh
Misalkan R = {( 1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari A={1,2,3} dan B={2,4,6,8} ,dan
S={( 2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari B ke C={s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S yaitu R0S
Jawab
R0S = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}
Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dalam matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari relasi tersebut adalah
MR1oR2= MR1 . MR2
operator “ 0 “ sama seperti pada perkalian matrik, tetapi mengganti tanda kali dg L, sedangkan jumlah dengan V
Dalam hal ini ingat operasi pada aljabar bool yaitu tanda atau(V) seperti jumlah sedang kan tanda dan(L) seperti kali
1. Refleksif
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif, jika (a,a)ЄR untuk setiap aЄA.
Contoh
Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana A={1,2,3,4}
a) Diketahui , R={(1,1), (1,3),(2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4)}
b) Diketahui , R={(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R refleksif ?
Jawab
a) bersifat refleksif karena (a,a) ada dalam R yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)
b) tidak refleksif karena ada (a,a) tidak ada dalam R yaitu (3,3).
Dilihat dari cara penulisan relasi, relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks denganbentuk semua bernilai 1 pada diagonal utamanya , sedangkan graf berarah adanya gelang pada setiap simpulnya.
2. Simetris (setangkup)
Sebaliknya dikatakan tidak simetris.
Contoh
Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana A={1,2,3,4}
a) Diketahui , R={(1,1), (1,2),(2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}
b) Diketahui , R={(1,1), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R simetris ?
Jawab
a) simetris karena jika (a,b)ЄR, ada juga (b,a)ЄR yaitu (1,2) , (2,1) ЄR, begitu juga (2,4) , (4,2)ЄR
b) tidak simetris karena (2,3)ЄR tetapi (3,2) tidak dalam R
Dilihat cara penulisan relasi, relasi bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen dibawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen diatas diagonal utama, atau mij = mji umtuk i= 1,2,.......n. sedangkan graf berarahnya mempunyai ciri : jika ada busur a ke b, maka ada juga busur dari b ke a
3. Transitif (penghantar)
Relasi R pada himpunan A disebut transitif (penghantaf), untuk a, b, c Є A, jika (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka harus ada (a,c)ЄR.
Contoh
Misal A={1,2,3,4}, dan relasi R pada A
a) diketahui R= {(2,1), (3,1),(3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}
b) Diketahui , R={(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)}.
Tentukan apakah R refleksif ?
Jawab
a) transitif karena memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka terlihat ada (a,c)ЄR.
b) tidak bersifat transitif karena tidak memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,tidak terlihat ada (a,c)ЄR. Dalam hal ini ada (2,4), dan(4,2) tetapi (2,2)ÏR
Subscribe to:
Posts (Atom)